Dari Kelinci Ke Bilangan Fibonaci

Gara-gara menghitung anak cucu sepasang kelinci, Fibonacci menemukan keistimewaan barisan bilangan itu.

INGAT ketika di SMP? Cobalah anda kenang lagi masa itu. Tapi, bukan kenangan ketika anda dengan malu-malu memegang tangan si Sisca yang cantiknya audzubillah itu, bukan juga kenangan ketika anda iseng men-olek hidung Waty lalu melarikan diri. Bukan, bukan itu maksudnya, tapi… ingatkah anda pada guru matematika yang cantik tapi killer itu? Nah, pasti anda masih ingat, suatu saat ketika ia menyinggung tentang bilangan Fibonacci. Nah, ini: barisan bilangan Fibonacci. Barisan bilangan ini memang istimewa. Dengan aturan bahwa suku ke tiga adalah jumlah dua suku terakhir tepat di depannya, anda dapat menyusun “barisan Fibonacci”. Sedangkan barisan Fibonacci yang “asli” adalah ”

1,1,2,3,5,8,13,21,

Sesuai dengan namanya, seperti pada judul di atas, barisan tersebut pertama kali ditemukan oleh ahli matematika Italia bernama Leonardo Fibonacci. Nah, tentu anda ingin mengetahui siapa Fibonacci dan bagaimana penemuan bilangan tersebut. Barangkali anda juga penasaran dengan judul di atas. Tulisan ini akan memberikan jawaban kepada anda, meskipun hanya bersifat sekilas.

Matematikawan pengembara
LEONARDO Fibonacci (sekitar 1180-1250) adalah seorang matematikawan sekaligus seorang saud ,gar asal Italia. Ia juga dikenal dengan sebutan Leonardo dari Pisa (Leonardo de Pisa). Dilahirkan di Pisa, dan dibesarkan di kota Bougia, Algeria, tempat ayahnya bekerja sebagai pegawai gudang. Setelah dewasa, Fibonacci sering dolan ke berbagai negara untuk — biasa… — bisnis. Ia mengembara ke seluruh daratan Eropa, ke Mesir, Syria, dan Yunani.

Selama perjalanannya itu Leonardo meneliti dan menganalisa sistem-sis-tem bilangan yang dipakai dalam perdagangan di berbagai negara. Ia mencatat semua hasil penelitiannya, kemudian dipelajari secara cermat. Karena seringnya mengadakan perjalanan ke berbagai negara yang menggunakan bermacam-macam sistem bilangan yang berbeda-beda, maka, mau tak mau, ia harus dapat mengenalinya secara mendalam. Dari pengalamannya itu, ia dapat melakukan perbandingan terhadap sistem-sistem bilangan tersebut. Semula ia menggunakan sistem bilangan Romawi, yang sulit dan bertele-tele, untuk keperluan perhitungan. Dari perjalanannya, ia mengenal sistem bilangan Hindu-Arab, yaitu sistem bilangan yang kemudian kita kenal sekarang ini. Barangkali juga ia sempat membaca tulisan-tulisan Al-Khwarizmi, karena ialah yang banyak mengembangkan sistem bilangan tersebut pada abad ke-9.

Dibanding sistem-sistem bilangan lain yang ada pada waktu itu —seperti sistem bilangan Romawi, Ionik, Mesopotamia— sistem bilangan Hindu-Arab mempunyai beberapa kelebihan, antara lain, memungkinkan kita untuk melakukan operasi aritmatika —memakai sistem posisi dengan basis desimal. Karena itu, Fibonacci menggunakannya, baik dalam perdagangan maupun dalam bidang lain, khususnya dalam matematika. Ia pun berjasa memperkenalkannya ke dalam matematika di Eropa dan menuliskan ‘Semua itu dalam berbagai buku.

Dalam bukunya yang terkenal, Liber Abaci: 1202(versi revisi 1228), melalui uraian metodologis dan soal-soal aljabar, secara tegas Fibonacci mengusulkan penggunaan sistem bilangan (numerik) orang India yang baru. Sis-tem bilangan di Arab sendiri kemudian mengalami perpecahan menjadi dua, yaitu lambang bilangan Arab Timur, dan lambang bilangan Gobar di bagian barat yang kemudian berkembang menjadi lambang bilangan kita sekarang. Karena asal mulanya dari India (Hindu), maka disebut lambang bilangan Hindu- Arab. Seperti telah kita kenal sekarang, sistem bilangan Hindu-Arab menggunakan sembilan angka —lambang bilangan— dan sebuah lambang bilangan nol, Zephirum.

Liber Abaci dapat dianggap sebagai cikal bakal perkembangan matematika di dunia barat. Fibonacci menerangkan operasi-operasi dasar pada bilangan bulat, pembagian, penarikan akar, dan penerapan matematika dalam dunia perdagangan. Barisan Fibonacci juga dimuat dalam Liber Abaci yang menjadi buku standard selama hampir dua abad.

Dalam karyanya yang lain, yaitu Flos (1225), Fibonacci membahas persamaan-persamaan tak tentu dari Diophantus. Ia juga menganalisa masalah-masalah tertentu dengan menggunakan metode yang digunakan oleh Euclid, orang-orang Cina, dan Arab. Tulisan Fibonacci yang lain lagi adalah Liber qudratorium (1225). Karya ini merupakan karya asli yang cemerlang, berisi analisa persamaan taktentu. Beberapa soal yang dibahas dalam buku tersebut merupakan soal-soal yang pernah dipertandingkan dalam suatu perlombaan yang disponsori oleh raja Frederick II, yang kebetulan Fibonacci juga diundang.

Meski semula Fibonacci adalah ahli aritmatika dan aljabar, ia juga menulis sebuah buku geometri: Practica geometriciae (1220). Tampaknya karya itu didasarkan atas karya Euclid yang hilang, On Division of Figures, yaitu tentang pembagian gambar-gambar geometri. Dalam buku itu Fibonacci menggunakan metoda aljabar untuk memecahkan sejumlah soal aritmatika dan geometri. Ini berarti, Fibonacci memperkenalkan geometri analitik sebelum Fermat dan Descartes mempelajarinya.

Peternak kelinci?
BILANGAN Fibonacci, ternyata, telah menarik perhatian para ahli matematika selama berabad-abad, setidaknva sejak abad ke-13, ketika Leonardo menuliskannya di dalam Liber Abaci. Ia juga membicarakan beberapa keistimewaan sistem bilangan Hindu-Arab yangjauh lebih praktis dibandingakn dengan sistem bilangan Romawi. Di dalam bukunya itu, ia menggunakan bilangan Fibonacci untuk mempelajari pola-pola kelahiran kelinci.

Barangkali ia adalah seorang peternak kelinci! Soalnya, ia ingin mengetahui berapa banyaknya kelinci setelah melahirkan beberapa generasi. Mula-mula ia memiliki sepasang kelinci. Pada bulan pertama pasangan kelinci itu belum menghasilkan keturunan. Setelah bulan ke dua pasangan kelinci itu akan melahirkan pasangan kelinci baru. Setelah itu, mulai bulan ke tiga, setiap bulan, pasangan kelinci itu akan menghasilkan sepasang kelinci baru lagi. Demikian pula pasangan kelinci baru, setelah berumur dua bulan, akan menghasilkan pasangan kelinci baru pula dengan pola yang sama. Demikian seterusnya. Dengan asumsi bahwa tidak ada pasangan kelinci yang mati, Fibonacci ingin mengetahui banyaknya pasangan kelincinya setelah sepuluh bulan. Ia membuat daftar sbb:

Sampai di situ, Fibonacci berhenti. Ia berpikir, daripada melanjutkan membuat daftar tersebut, ia mengamati pola bilangan pada kolom ke dua:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ?

Ternyata pola bilangan tersebut mempunyai aturan yang menarik sekali. Suku ketiga adalah jumlah suku pertama dan ke dua, suku ke empat merupakan jumlah suku ke tiga dan ke dua, suku ke lima jumlah suku ke tiga dan ke empat, dst. Akhirnya, dengan memperhatikan pola tersebut, ia memperoleh jawaban 89 (8, 13, 21, 34, 55, 89). Karena telah menemukan aturan bilangan tersebut, maka ia sekarang dapat menentukan banyaknya pasangan kelinci setelah interval waktu tertentu tanpa susah-susah membuat daftar seperti di atas.

Pola bilangan memang mempunyai peranan penting dalam matematika. Tanpa suatu pola banyak soal matematika yang sulit dipecahkan, tetapi dengan menggunakan pola bilangan menjadi soal yang “gampang”

Menjadi bahan kajian
BILANGAN Fibonacci ternyata berperan penting, sehingga menarik minat para ahli untuk menyelidikinya. Beberapa ahli matematika, seperti Verner Hoggott dan Brother Brossean, menyibukkan diri mempelajari bilangan-bilangan Fibonacci. Bahkan ada sebuah perkumpulan ahli matematika, menamakan dirinya The Fibonacci Association yang menerbitkan Fibonacci Quarterly. Mereka melakukan pengkajian mengenai Fibonacci anda ingin bergabung dengan mereka? Silakan korespondensi dengan: Fibonaci Association c/o V.E. Hoggatt, Jr, San Yose State College, San Jose, California 95114.

Barisan bilangan Fibonacci mempunyai arti penting. Beberapa sifatnya ternyata mempunyai banyak manfaat di berbagai bidang: ilmu botani, zoologi, fisika, bisnis, ekonomi, statistik, penelitian, arkeologi, seni, arsitekstur, pendidikan, psikologi, sosiologi, dan sastra. Seorang ahli matematika menemukan sifat istimewa bilangan Fibonacci. Perhatikan bilangan Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,

Bila setiap suku di dalam barisan bilangan di atas dibagi 4, maka sisanya adalah :

1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1,

Barisan yang dihasilkan (barisan sisa pembagian dengan 4 terhadap bilangan-bilangan Fibonacci) ternyata mempunyai periode 6. Perhatikan barisan terakhir itu, setiap enam buah suku akan kembali lagi atau berulang. Barisan ini ditemukan oleh Lagrange. Ada barisan bilangan lain yang mirip bilangan Fibonacci. Barisan itu adalah:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, ….

Bilangan-bilangan itu disebut bilangan Lucus (sesuai nama penemunya, Lucus, ahli matematika dari Perancis abad ke19). Sebenarnya, bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan Fibonacci, karena mempunyai aturan yang sama. Bedanya, hanya pada suku ke dua,nya sehingga suku-suku selanjutnya pun berbeda. Bilangan-bilangan ini juga dapat ditemukan pada segitiga Pascal –anda pun tentu sudah mengenalnya.

Nah, sekarang coba anda selidiki, barangkali ada keistimewaan lain yang belum sempat ditemukan para ahli. Selamat bekerja, selamat belajar. Tak perlu khawatir jadi botak kalau ingin jadi matematikawan !!!!

Oleh Sahid

Sumber: Majalah AKU TAHU/ APRIL 1988