Teorema Fermat Dibuktikan Dua Kali

MASIH ingat Dr Andrew Wiles dari Universitas Princeton yang tanggal 23 Juni 1993 membuktikan Teorema Fermat? Waktu itu media massa di hampir seluruh negeri, seperti New York Times dan Kompas, memberitakan betapa Wiles mengundang pukau para matematikawan yang berkumpul di Universitas Cambridge, Inggris.

Ujung kisah itu: Miles menulis quod erat demonstrantum atau sudah terbukti di ujung pembuktian teorema ini. Berhubung tahap-tahap pembuktian tidak bisa langsung diperiksa dalam sekejap, peserta pertemuan itu menyambut Wiles dengan tepukan panjang dan selangit pujian.

Akan tetapi, tiga sampai empat bulan kemudian, Dr Richard Lawrence Taylor dari Universitas Cambridge menunjukkan ada yang salah dalam langkah pembuktian Wiles.

Itulah yang menganulir kerja keras Wiles selama bertahun-tahun untuk mengusahakan pembuktian teorema yang ditulis oleh matematikawan Perancis Pierre de Fermat (1601-1665) di catatan pinggir bukunya: Arithmetica karangan Diophantus dari Alexandria, yang ditulis kembali dalam Bahasa Yunani dan Latin oleh Claude Gaspard de Bachet (1591-1639). Diophantus hidup dalam abad ketiga sebelum Masehi.

Tanggal 25 Oktober lalu, Wiles bangkit dari kubur. Seperti yang dilaporkan surat kabar New York Times edisi 27 Oktober, bersama kawan-kewannya, matematikawan dari New Jersey ini kembali membuktikan teorema yang sudah berusia 350 tahun itu.

Wiles menulis pesan e-mail kepada 20 koleganya di seluruh dunia bahwa ia sebentar lagi akan mengirim paket yang mengejutkan. Beberapa jam kemudian pembuktian teorema yang menjembatani aljabar dan kalkulus itu disebarkan oleh Federal Express kepada kedua puluh matematikawan itu.

”Cukup panjang pembuktian itu,” kata matematikawan Dr Nicholas Katz, rekan Wiles di Universitas Princeton, seperti yang dikutip New York Times.

”Kami perlu waktu berminggu-minggu untuk memeriksa apakah pembuktian itu sudah benar,” demikian komentar sekian matematikawan yang diwawancarai oleh harian independen beroplah terbanyak di New York itu.

KERJA keras Wiles ini bermula dari sebuah catatan pinggir Fermat. Catatan pinggir itu menggoda dan menjadi legendaris karena di situ Fermat menulis sebuah teorema, dari matematika, tentang penjumlahan dua bilangan berpangkat sama. Teorema, dalam matematika, menuntut sebuah pembuktian. Tapi, Fermat tak menulis bukti itu dalam catatan pinggirnya. Yang bikin penasaran para ahli matematika, di situ Fermat menulis bahwa teorema terakhirnya itu telah ia buktikan. Yang menjadi soal hingga 350 tahun kemudian, di mana bukti itu dituliskan.

Sebetulnya godaan untuk membuktikan bisa dipadamkan begitu saja kalau orang berhasil menunjukkan bahwa teorema itu tidak benar. Sekali dia tersanggah dengan satu contoh, gugurlah dalil itu. Sebaliknya, selama ia tak tersanggah, apa boleh buat, tanpa bukti pun, setujui saja Fermat sang jenius ini. Inilah yang coba ditembus oleh Wiles.

Dalam kalimat yang sederhana, teorema yang menggemparkan ini berbunyi kalau x,y, dan z masing-masing adalah bilangan bulat positif, maka x pangkat n ditambah dengan y pangkat n tidak akan pernah menjadi z pangkat n, kalau n bilangan bulat yang lebih besar daripada 2. Yang namanya bilangan bulat positif itu 1, 2, 3, 4, dan seterusnya. Jadi, setengah, sepertiga, dan nol koma sekian bukanlah bilangan bulat.

Kalau n sama dengan 1 atau 2, teorema ini memang tidak berlaku. Soalnya, dapat dicarikan z berpangkat 2 yang merupakan hasil penjumlahan dari x pangkat 2 dan y pangkat 2. Demikian pula halnya, selalu dapat dicarikan z berpangkat sebagai penjumlahan dari 3 pangkat 1 dan y pangkat 1

Untuk n = 1, hal itu mudah terlihat. Misalnya, 2 + 7 = 9 dan 1112 + 235 = 1347. Jelaslah 2, 7, dan 9 masing-masing bilangan bulat berpangkat 1, demikian pula dengan 1112, 235, dan 1347. Sedangkan untuk n = 2, contohnya tak sebanyak untuk n = 1. Sebagai contoh bentuk-bentuk seperti 3²+4²=5² dan 12² + 16² = 20² tidaklah sebanyak yang ada pada n =1.

Dengan kata lain, bila n lebih besar daripada 2, maka x,y, dan z yang masing-masing bulat positif tak akan dapat dicari dari persamaan xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Untuk meyakinkan bahwa teorema Fermat tak tersanggah, lihatlah persoalan ini. Adakah z yang bulat sehingga 3³ + 4³ = z³?

Singkatnya, carilah z yang bulat sehingga 27 + 64 = z³.

Anda bisa membuat soal yang sejenis asalkan bertolak dari Teorema Fermat yang disebut di atas. Kalau Anda berhasil, teorema Fermat gugur. Anda masih punya kesempatan sebab Wiles belum tentu benar.

Siapa saja yang pernah belajar matematika elementer akan mudah sepakat bahwa teorema ini sesungguhnya amatlah sederhana. Orang yang sama akan sepakat pula mengatakan bahwa kesedarhanaan itu justru menyimpan kedahsyatan yang luar biasa: selama 350 tahun lebih, baru Wiles seorang yang berani memamerkan usahanya. (sal)

Sumber: Kompas, 3 November 1994