Fraktal sebagai Salah Satu Fenomena Matematis

PERKEMBANGAN teknologi komputer yang amat pesat (pemroses yang semakin cepat, media tampilan yang makin sempurna) telah membantu paIa matematikawan untuk memvisualisasikan grafik persamaan fungsi yang rumit sekalipun. Dangan bantuan komputer, bentuk grafik persamaan-persamaan matematika dan numerik serta iterasi suatu fungsi yang awalnya sulit untuk digambarkan, kini dapat dilakukan dengan mudah. Dengan memanfaatkan kelebihan teknologi komputer 1991, Mandelbrot menemukan bentuk fraktal yang dibangkitkan dengan fungsi matematis.

Fraktal
KURVA fraktal (fractal-Inggris) atau kadang-kadang hanya disebut fraktal, mempunyai beberapa pengertian. peitgen (1991) menjelaskan, fraktal merupakan salah satu gejala fungsi dinamik diskrit. Menurut Donald Hearn (1986) fraktal adalah bentuk geometri dengan dimensi bukan bilangan bulat. Ketidakkonsistenan bentuknyalah yang menyebabkan fraktal disebut berdimensi bukan bilangan bulat.

Penjelasan dari pengertian ini adalah: misalnya jika kita melihat balok atau bola. Baik dari dekat maupun jauh hasil pengamatan kita terhadap benda-benda itu adalah sama, bola tetap bulat dan balok tetap kotak. Namun, coba kita perhatikan gunung, awan, dan benda-benda alam yang lain. Gunung misalnya, dari jauh kelihatan segitiga padahal kalau kita dekati sebenarnya bentuknya bukan segitiga. Awan yang kadang-kadang kita lihat berbentuk lonjong tetapi jika didekati, bentuknya tidak demikian (dengan anggapan bentuknya tidak berubah).

Selain ditandai dengan ketidak konsistenan bentuk, fraktal juga ditandai adanya pengulangun dan atau penskalan terhadap diri atau sebagian dari dirinya. Kita lihat pohon cemara, cabangnya secara kasar dan dengan orientasi yang berbeda merupakan penskalan terhadap pohonnya (atau bisa sebaliknya).

Hasil iterasi fungsi
Fraktal yang dihasilkan dan goresan tangan secara manual, misalnya pengulangan bentuk dan orientasi garis, segitiga, atau bujur sangkar mungkin tidak terlalu menarik. Lebih menarik jika kita perhatikan fraktal yang dihasilkan dari iterasi (pengulangan) penggunaan suatu fungsi persamaan matematis. Umumnya fungsi yang digunakan adalah fungsi untuk bilangan kompleks. Fungsi kompleks itu sendiri ada beberapa macam, misalnya ƒ(z) =z2 + c atau ƒ (c) = zc2 dengan z, c anggota bilangan kompleks.

Metode Newton yang biasa digunakan untuk mencari solusi akar polinom ternyata bisa digunakan untuk membangkitkan kurva fraktal. Ilustrasi penggunaan metoda Newton untuk mencari akar persamaan polinom adalah sebagai berikut: misalnya kita ambil persamaan polinom (P(x) = 0. Akar (akar-akar persamaan polinom ini dicari dengan mengiterasikan rumus Xn+1 = Xn – P’(x)/P(x), dengan P’(x) turunan P(x). Rumus ini kita ulangi,setelah kita menentukan nilai awal Xn sebagai tebakan, sampai Xn+1 sangat dekat dengan Xn atau sampai jumlah iterasi tertentu.

Rumus seperti itu kita adopsi untuk membangkitkan fraktal, dengan sedikit modifikasi. Modifikasi dilakukan terhadap input fungsi. Jika pada rumus sebelumnya digunakan input bilangan real X, maka untuk membangkitkan fraktal input yang kita gunakan adalah bilangan kompleks z, sehingga rumus itu menjadi Zn+1 = Zn-Q’(z)/ Q(z), dengan persamaan polinom Q(z) = 0.

Alasan penggunaan bilangan kompleks adalah karena bilangan ini memiliki sifat dinamika yang unik yang tidak dimiliki bilangan real.

Kita lihat gambar yang dihasilkan dari komputer penulis, dengan merujuk Fractal Programming and Ray Tracing with C++, Roger T Steven . Gambar itu dihasilkan dengan memanfaatkan Metoda Newton. Setelah didefinisikan fungsi polinom kompleks yang akan dicari akarnya, setiap koordinat (x,y) di layar dengan penskalaan, digunakan sebagai solusi awal zn. Absis = x digunakan sebagai komponen imajiner. Iterasi mencapai batas tertentu. Setelah iterasi, pada posisi (x,y) itu diplot dengan warna sesuai jumlah iterasi modulo 15.

Gambar-gambar itu menunjukkan adanya pengulangan yang merupakan pola fraktal. Kita perhatikan gambar-gambar itu menunjukkan keteraturan meski tidak diutur. Bentuknya diserahkan pada rumus iterasi tanpa campur tangan kita, kecuali penentuan persamaan polinom awal dan skala koordinat (x,y).

Seperti semua yang ada di alam, fenomena seperti ini bisa kita jadikan pelajaran betapa kuasa dan pengaturnya Allah SWT. Sumpai sekarang penulis belum bisa memahami bagaimana gambar-gambar seperti ini bisa terjadi. Koordinat (x, y) pada bagian bawah secara mutlak nilainya lebih besar dari yang di atas, tetapi perilaku iterasi yang diperlihatkan relatif sama. Berkali-kali percobaan dilakukan dengan persamaan polinom yang berbeda perilaku keteraturan itu selalu ada.

(Mujiono, Mahasiswa lnformatika ITB)

Sumber: Kompas, tanpa tahun